康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

以下称第x个全排列都是指由小到大的顺序。

公式

$${\displaystyle X=a_{n}(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+\cdots +a_{1}\cdot 0!}$$

其中,${\displaystyle a_{i}}$为整数,并且${\displaystyle 0\leq a_{i}<i,1\leq i\leq n}$。

${\displaystyle a_{i}}$的意义参见举例中的解释部分

举例

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=28!+37!+46!+25!+04!+03!+22!+01!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

用途

显然，n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出唯一的一个排列。

康托展开的逆运算

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)
用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.
用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.
用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.
用1去除1!得到1余0，这一位是2.
最后一位只能是1.
所以这个数是45321.

按以上方法可以得出通用的算法。

原文地址：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B1%95%E5%BC%80

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